৫ এর ৯৫ এর মধ্যে ৫ এবং ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা কতটি?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রথমে আমাদের এমন সংখ্যাগুলো খুঁজে বের করতে হবে যা ৫ এবং ৩ উভয় দ্বারা বিভাজ্য।

যদি একটি সংখ্যা দুটি বা ততোধিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে সেটি তাদের ল.সা.গু (লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক - Least Common Multiple) দ্বারাও বিভাজ্য হবে।

১. ৫ এবং ৩ এর ল.সা.গু নির্ণয়:

যেহেতু ৫ এবং ৩ উভয়ই মৌলিক সংখ্যা (Prime Numbers), তাই তাদের ল.সা.গু হবে তাদের গুণফল।

\(৫ \times ৩ = ১৫\)

সুতরাং, আমাদের ৫ থেকে ৯৫ এর মধ্যে ১৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো খুঁজে বের করতে হবে।

২. ৫ থেকে ৯৫ এর মধ্যে ১৫ এর গুণিতকসমূহ:

আমরা ১৫ এর গুণিতকগুলো লিখি এবং দেখি কোনগুলো ৫ থেকে ৯৫ এর সীমার মধ্যে পড়ে:

    
• \(১৫ \times ১ = ১৫\)
    
• \(১৫ \times ২ = ৩০\)
    
• \(১৫ \times ৩ = ৪৫\)
    
• \(১৫ \times ৪ = ৬০\)
    
• \(১৫ \times ৫ = ৭৫\)
    
• \(১৫ \times ৬ = ৯০\)

১৫ এর পরবর্তী গুণিতক হলো \(১৫ \times ৭ = ১০৫\), যা ৯৫ এর চেয়ে বড় এবং প্রদত্ত সীমার বাইরে। একইভাবে, ১৫ এর পূর্ববর্তী গুণিতক (\(১৫ \times ০ = ০\)) ৫ এর চেয়ে ছোট এবং সীমার বাইরে।

৩. মোট সংখ্যার গণনা:

৫ এবং ৯৫ এর মধ্যে ৫ এবং ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো ১৫, ৩০, ৪৫, ৬০, ৭৫ এবং ৯০।

এখানে মোট ৬টি সংখ্যা রয়েছে।

কোন নির্দিষ্ট সংখ্যা 'N' দ্বারা বিভাজ্য মোট কতটি সংখ্যা 'A' থেকে 'B' এর মধ্যে (A ও B সহ) আছে তা নির্ণয় করার জন্য আমরা নিচের সূত্রটি ব্যবহার করতে পারি:

\(\text{মোট সংখ্যা} = \lfloor \frac{B}{N} \rfloor - \lfloor \frac{A-1}{N} \rfloor \)

এখানে,

    
• \(A = ৫\) (নিম্ন সীমা)
    
• \(B = ৯৫\) (উচ্চ সীমা)
    
• \(N = ১৫\) (ল.সা.গু, যা ৫ এবং ৩ উভয় দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যার জন্য)

এখন মানগুলো বসাই:

\(\lfloor \frac{৯৫}{১৫} \rfloor = \lfloor ৬.৩৩... \rfloor = ৬\)

\(\lfloor \frac{৫-১}{১৫} \rfloor = \lfloor \frac{৪}{১৫} \rfloor = \lfloor ০.২৬... \rfloor = ০\)

\(\text{মোট সংখ্যা} = ৬ - ০ = ৬\)

অতএব, মোট ৬টি সংখ্যা আছে।